绝对值
绝对值是数轴上一个数到原点的距离，所以 \( |a|\ge 0 \)。含绝对值的式子通常在零点处分段。
$$|a|=\begin{cases}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{cases}$$按正负去掉绝对值。
$$|x-a|+|x-b|\ge |a-b|$$到两点的距离之和，最小值是两点间距离，在两点之间取得。
$$\dfrac{|a|}{a}=\begin{cases}1,& a>0\\ -1,& a<0\end{cases}$$非零数的符号。
例题
实数 \( x\gt 0 \)，求 \( |x-5|+|x+3| \) 的最小值。
\( |x+3|=|x-(-3)| \)。到 \( -3 \) 与 \( 5 \) 的距离之和最小为
$$|-3-5|=8$$
在闭区间 \( [-3,5] \) 上取得。正数与该区间相交，最小值仍是 \( 8 \)。
算术平均与加权平均
算术平均把总和平分到每一个数。加权平均按人数、产量或金额加权，不能把各组平均数再简单相加。
$$\bar x=\dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$已知总和时先求和再除以个数。
$$\dfrac{a+b}{2}=p,\ \dfrac{b+c}{2}=q,\ \dfrac{a+c}{2}=r \Rightarrow \dfrac{a+b+c}{3}=\dfrac{p+q+r}{3}$$两两平均相加后再除以 3。
$$\bar x_w=\dfrac{w_1x_1+\cdots+w_nx_n}{w_1+\cdots+w_n}$$权重是人数或金额时使用。
例题
已知 \( a+b=12 \)，\( b+c=48 \)，\( a+c=24 \)，求 \( a,b,c \) 的算术平均数。
三式相加：
$$2(a+b+c)=84,\quad a+b+c=42$$
$$ \bar x=\dfrac{42}{3}=14 $$
调和平均
等距离往返、或单位成本按“倒数”相加时，用调和平均。它不等于两速度的算术平均。
$$H=\dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\cdots+\dfrac{1}{x_n}}$$正数的调和平均。
$$\bar v=\dfrac{2}{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_2}}=\dfrac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$$等距离往返的平均速度。
例题
去程 \( 180 \) 米/分，返程 \( 120 \) 米/分，往返路程相等，求平均速度。
$$ \bar v=\dfrac{2}{\dfrac{1}{180}+\dfrac{1}{120}}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{72}}=144 $$
单位是米/分。算术平均 \( 150 \) 会把较快的一段看得过重。
百分数、利润与折扣
利润率的分母是成本。折扣乘在标价上。涨价后再降回原价，下降的百分比不等于原来上涨的百分比。
$$\text{利润率}=\dfrac{\text{售价}-\text{成本}}{\text{成本}}$$售价 = 成本 × (1+利润率)。
$$\text{标价}=\dfrac{\text{成本}\times(1+\text{利润率})}{\text{折扣}}$$四折即折扣 \( 0.4 \)。
$$\text{涨价 }p\text{ 后恢复原价，应降 }\dfrac{p}{1+p}$$原价记为 1，涨后为 \( 1+p \)。
例题
成本 \( 200 \) 元，按标价的四折出售时期望利润率 \( 20\% \)，求标价。
实际售价 \( 200\times 1.2=240 \)。
$$ \text{标价}=\dfrac{240}{0.4}=600 $$
连续变化与单利
先后涨跌、长宽变化都用连乘，不能把百分数直接相加。两种贷款的利息按本金加权。
$$(1+a)(1-b)-1$$先变化 a 再变化 b 之后，相对原量的增减。
$$I=Pr,\quad P_1r_1+P_2r_2=I$$单利。两种本金合计已知时，设一种为 \( x \)。
例题
长增加 \( 30\% \)、宽减少 \( 30\% \)，矩形面积如何变化？
$$ 1.3\times 0.7-1=-0.09 $$
面积减少 \( 9\% \)，不是不变。
比与比例
比是两个量的份数关系。连比要先化成同一份，再用一个已知和求出每一份。
$$a:b=m:n \Rightarrow \dfrac{a}{b}=\dfrac{m}{n}$$比等于对应分数。
$$x:y:z=\dfrac{1}{2}:\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{3}$$先通分变成整数比，再分配已知的和。
$$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$$内项积等于外项积。
例题
甲班男女比为 \( 2:3 \)，乙班为 \( 3:4 \)，两班人数相等，求两班合在一起的男女比。
甲班 5 份、乙班 7 份。取公倍 35：甲班男 \( 14 \)、女 \( 21 \)，乙班男 \( 15 \)、女 \( 20 \)。
$$ \text{男}:\text{女}=(14+15):(21+20)=29:41 $$
乘法公式
乘法公式把两个一次式的积写成没有括号的多项式，也是因式分解的逆用。
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$完全平方。
$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$平方差。
$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$立方和展开。
$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$$立方和因式。立方差把中间符号改反。
例题
\( a,b \) 为不超过 10 的不同质数，\( a\gt b \)，求 \( a^2-b^2 \) 的最小值。
$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$
质数取 \( 3 \) 与 \( 2 \)：\( 9-4=5 \)。差越大，平方差越大。
因式分解
因式分解把多项式写成几个整式的积，用于解方程、化简和判断符号。
$$ma+mb=m(a+b)$$先提公因式。
$$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$$十字相乘：常数项拆成积，一次项系数是这两数之和。
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$平方差。
例题
分解 \( x^2-5x+6 \)。
找两数之积为 6、和为 \( -5 \)，即 \( -2 \) 与 \( -3 \)。
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$
分式
分式是分子、分母都是整式且分母含字母的式子。分母不能为 0。加减先通分，乘除先约分。
$$\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad\pm bc}{bd}$$通分。
$$\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd},\quad \dfrac{a}{b}\div\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad}{bc}$$约去公因式，并排除使分母为 0 的值。
例题
若 \( \dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{4}+\dfrac{x}{12}=1 \)，求 \( x^2 \)。
$$ \dfrac{4x+3x+x}{12}=\dfrac{2x}{3}=1 $$
\( x=\dfrac{3}{2} \)，\( x^2=\dfrac{9}{4} \)。
根式与分母有理化
二次根式 \( \sqrt{a} \) 要求 \( a\ge 0 \)，其值非负。分母有理化是为了把根号从分母移走。
$$\sqrt{a^2}=|a|$$算术平方根非负，所以是绝对值，不是 \( a \) 本身。
$$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\ (a\ge 0,b\ge 0)$$非负时才能拆开。
$$\dfrac{1}{\sqrt{a}}=\dfrac{\sqrt{a}}{a},\quad \dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}$$分子分母同乘共轭。
例题
化简 \( \dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \)。
$$ \dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\sqrt{3}+\sqrt{2} $$
一元一次方程
一元一次方程化成 \( ax=b \)（\( a\neq 0 \)）后，未知数等于常数除以系数。去分母时每一项都要乘。
$$ax+b=0\ (a\neq 0)\Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$$移项后再除以一次项系数。
例题
解 \( \dfrac{x-1}{2}-\dfrac{x}{3}=1 \)。
乘 6：\( 3(x-1)-2x=6 \)，即 \( x-3=6 \)，\( x=9 \)。
二元一次方程组
两个一次关系联立，通常有唯一解。加减消元或代入都可以。
$$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$$系数成比例时可能无解或无穷多解。
例题
解 \( \begin{cases}x+y=12\\ x-y=4\end{cases} \)。
两式相加 \( 2x=16 \)，\( x=8 \)，\( y=4 \)。
一元二次方程
一元二次方程的实根个数由判别式决定。求根公式给出全部实根。
$$ax^2+bx+c=0,\quad \Delta=b^2-4ac$$\( \Delta>0 \) 两不等实根，\( \Delta=0 \) 两等实根，\( \Delta<0 \) 无实根。
$$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$求根公式，\( a\neq 0 \)。
$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a},\quad x_1x_2=\dfrac{c}{a}$$韦达定理，用于已知两根关系而不必先求出根。
例题
方程 \( x^2-5x+6=0 \) 的两根之和、之积各是多少？
$$ x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=6 $$
根是 \( 2 \) 与 \( 3 \)，可以核对。
分式方程与换元
分式方程去分母后可能产生使原分母为 0 的增根，必须检验。换元把重复出现的式子当成一个新未知数。
$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{t}$$工程、电阻并联常先写成工作效率或倒数。
$$\text{令 }u=x+\dfrac{1}{x}$$换元后先解关于 \( u \) 的方程，再代回。
例题
甲、乙合作 6 小时完成一件工作，甲先做 4 小时后乙再做 9 小时也完成。求乙单独完成所需时间。
设效率 \( x,y \)。
$$ 6(x+y)=1,\quad 4x+9y=1 $$
由第一式 \( x+y=\dfrac{1}{6} \)，代入得 \( y=\dfrac{1}{15} \)。乙单独需要 \( 15 \) 小时。
一元一次与一元二次不等式
不等式两边乘负数要改号。二次不等式先化为开口向上，再按两根把数轴分成三段。
$$a>0,\ ax+b>0\Rightarrow x>-\dfrac{b}{a}$$系数为正时不等号方向不变。
$$a>0,\ (x-r_1)(x-r_2)<0\Rightarrow r_1<x<r_2$$小于 0 在两根之间；大于 0 在两根外侧。
例题
解 \( x^2-5x+6\lt 0 \)。
\( (x-2)(x-3)\lt 0 \)，解集 \( 2\lt x\lt 3 \)，即 \( (2,3) \)。
绝对值不等式与分式不等式
绝对值不等式可以平方（两边非负时）或分段。分式不等式先移项通分，分子分母的符号一起看，分母不能为 0。
$$|x-a|<r \Rightarrow a-r<x<a+r\ (r>0)$$开区间。小于等于则是闭区间。
$$\left|\dfrac{f(x)}{g(x)}\right|=\dfrac{h(x)}{g(x)}$$右边必须非负，且 \( g(x)\neq 0 \)。
例题
解 \( \left|\dfrac{2x-5}{x+1}\right|=\dfrac{5-2x}{x+1} \)。
\( x\neq -1 \)，右边非负。又 \( 5-2x=-(2x-5) \)，方程等价于
$$ \dfrac{2x-5}{x+1}\le 0 $$
解得 \( -1\lt x\le \dfrac{5}{2} \)。
基本不等式
基本不等式给出两个正数的算术平均不小于几何平均，等号当且仅当两数相等。
$$\dfrac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ (a>0,b>0)$$和定积最大，积定和最小。
$$a+b\ge 2\sqrt{ab},\quad ab\le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2$$常用变形。
$$\dfrac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}\ (a,b,c>0)$$三元形式，等号当三者相等。
例题
\( x\gt 0 \)，求 \( x+\dfrac{4}{x} \) 的最小值。
$$ x+\dfrac{4}{x}\ge 2\sqrt{x\cdot\dfrac{4}{x}}=4 $$
等号在 \( x=\dfrac{4}{x} \)，即 \( x=2 \) 时取得。
一次函数与反比例函数
一次函数的图像是直线，\( k \) 决定升降。反比例函数的图像是双曲线，\( k \) 决定所在象限。
$$y=kx+b$$\( k>0 \) 上升，\( k<0 \) 下降，\( b \) 是纵截距。
$$y=\dfrac{k}{x}\ (k\neq 0)$$\( x\neq 0 \)。\( k>0 \) 在一、三象限。
例题
直线过 \( (0,2) \) 与 \( (1,5) \)，求解析式。
\( b=2 \)，\( k=5-2=3 \)，\( y=3x+2 \)。
二次函数
二次函数的图像是抛物线。开口由 \( a \) 决定，顶点给出最值。
$$y=ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$顶点为 \( \left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right) \)。
$$a>0\ \text{时最小值}=\dfrac{4ac-b^2}{4a}$$\( a<0 \) 时该值为最大值。
例题
求 \( y=x^2-4x+3 \) 的顶点与最小值。
顶点 \( x=2 \)，\( y=4-8+3=-1 \)。最小值为 \( -1 \)。
指数与对数
指数表示乘方，对数是指数的逆运算。底数 \( a\gt 0 \) 且 \( a\neq 1 \)，真数必须为正。
$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad a^0=1$$同底才相乘。
$$\log_a(MN)=\log_a M+\log_a N,\quad \log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$$真数为正。
$$\log_a a^x=x,\quad a^{\log_a x}=x,\quad \log_a b=\dfrac{\ln b}{\ln a}$$换底公式的分母是新底的对数。
例题
计算 \( \log_2 8+\log_2 \dfrac{1}{4} \)。
$$ \log_2(8\cdot\tfrac{1}{4})=\log_2 2=1 $$
函数的奇偶与单调
奇偶看自变量换成相反数后的函数值。单调看自变量增大时函数值是否始终同向变化。定义域必须关于原点对称，才谈得上奇偶。
$$f(-x)=f(x)\ \text{偶},\quad f(-x)=-f(x)\ \text{奇}$$偶函数图像关于 \( y \) 轴对称，奇函数关于原点对称。
$$x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$这是增函数。不等号反向则是减函数。
例题
判断 \( f(x)=x^3-x \) 的奇偶性。
$$ f(-x)=(-x)^3-(-x)=-x^3+x=-(x^3-x)=-f(x) $$
是奇函数。
定义与同角关系
正弦、余弦、正切由角的终边或直角三角形的边比定义。同角关系把同一个角的三角比联系起来。
$$\sin\theta=\dfrac{y}{r},\ \cos\theta=\dfrac{x}{r},\ \tan\theta=\dfrac{y}{x}$$\( r=\sqrt{x^2+y^2} \)。
$$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1,\quad \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$$\( \cos\theta\neq 0 \) 时才能写正切。
$$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta,\quad 1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$$由同角基本关系推出。
例题
\( \sin\theta=\dfrac{3}{5} \)，\( \theta \) 为锐角，求 \( \cos\theta \) 与 \( \tan\theta \)。
$$ \cos\theta=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5},\quad \tan\theta=\dfrac{3}{4} $$
诱导公式与和差倍角
诱导公式把任意角的三角函数化到锐角。和差公式用于两角和、差与倍角。
$$\sin(\pi-\theta)=\sin\theta,\ \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta$$终边关于 \( y \) 轴对称。
$$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$$余弦的和差中间是减加，符号与正弦相反。
$$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\quad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$$降幂时用后两个。
例题
已知 \( \sin\alpha=\dfrac{1}{3} \)，\( \alpha \) 为锐角，求 \( \sin 2\alpha \)。
\( \cos\alpha=\sqrt{1-\dfrac{1}{9}}=\dfrac{2\sqrt{2}}{3} \)。
$$ \sin 2\alpha=2\cdot\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{2\sqrt{2}}{3}=\dfrac{4\sqrt{2}}{9} $$
正弦定理、余弦定理与面积
解三角形时，已知边角用正弦或余弦定理求其余元素，面积可以用两边及其夹角。
$$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$$\( R \) 是外接圆半径。
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$$已知两边及夹角，或已知三边求角。
$$S=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$海伦公式中 \( s=\dfrac{a+b+c}{2} \)。
例题
\( a=2 \)，\( b=3 \)，夹角 \( C=60^\circ \)，求面积和对边 \( c \)。
$$ S=\dfrac12\cdot 2\cdot 3\cdot\sin 60^\circ=\dfrac{3\sqrt{3}}{2} $$
$$ c^2=4+9-2\cdot 2\cdot 3\cdot\dfrac12=7,\quad c=\sqrt{7} $$
等差数列
等差数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个公差。等间隔的项有对称和。
$$a_n=a_1+(n-1)d$$通项。
$$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\dfrac{n(n-1)}{2}d$$两种求和，选数据齐全的一种。
$$a_k+a_{k+m}+a_{k+2m}=3a_{k+m}$$等间隔三项之和等于中间项的 3 倍。
$$(a_{n+1}+a_{n+4}+a_{n+7})-(a_n+a_{n+3}+a_{n+6})=3d$$两组下标整体后移 1，和增加 \( 3d \)。
例题
\( a_1=2 \)，\( d=3 \)，求 \( S_{10} \)。
$$ S_{10}=10\cdot 2+\dfrac{10\cdot 9}{2}\cdot 3=20+135=155 $$
等比数列
等比数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个公比。公比为 1 时，前 \( n \) 项和要单独写。
$$a_n=a_1q^{n-1}$$通项。
$$S_n=\begin{cases}na_1,& q=1\\ a_1\dfrac{1-q^n}{1-q},& q\neq 1\end{cases}$$公比等于 1 时不能用分式那一支。
$$a_k^2=a_{k-m}a_{k+m}$$等比中项，各项需同号或按定义允许。
例题
\( a_1=3 \)，\( q=2 \)，求 \( a_5 \) 与 \( S_5 \)。
$$ a_5=3\cdot 2^4=48 $$
$$ S_5=3\cdot\dfrac{1-2^5}{1-2}=3\cdot 31=93 $$
递推与求和
知道后一项与前一项的关系时，可以累加或累乘得到通项。裂项是为了相邻项相消。
$$a_{n+1}-a_n=f(n)\Rightarrow a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$$差为已知函数时累加。
$$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$$裂项后中间项抵消。
例题
求 \( \dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots+\dfrac{1}{n(n+1)} \)。
$$ \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1} $$
线性运算与坐标
向量有大小和方向。坐标表示后，加减和数乘按分量进行。
$$\vec a=(x_1,y_1),\ \vec b=(x_2,y_2)$$相等当且仅当分量分别相等。
$$\vec a+\vec b=(x_1+x_2,y_1+y_2),\ k\vec a=(kx_1,ky_1)$$平行四边形法则与数乘。
$$|\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$模长。
例题
\( \vec a=(1,2) \)，\( \vec b=(-3,4) \)，求 \( |\vec a+\vec b| \)。
\( \vec a+\vec b=(-2,6) \)。
$$ |-2,6|=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10} $$
数量积、平行与垂直
数量积把两个向量合成一个数，等于模长相乘再乘夹角余弦。它用来判断垂直和求夹角。
$$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$$夹角为 \( 90^\circ \) 时数量积为 0。
$$\vec a\parallel\vec b\Rightarrow x_1y_2-x_2y_1=0$$对应分量成比例。
$$\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a||\vec b|}$$求夹角。
例题
\( \vec a=(1,2) \)，\( \vec b=(2,-1) \)，判断是否垂直。
$$ \vec a\cdot\vec b=2-2=0 $$
数量积为 0，两向量垂直。
直线方程
直线由一点和斜率，或由一般式的系数确定。斜率是倾斜角的正切，垂直于 \( x \) 轴的直线没有斜率。
$$y-y_0=k(x-x_0),\quad y=kx+b$$点斜式与斜截式。
$$Ax+By+C=0$$一般式。斜率存在时 \( k=-\dfrac{A}{B} \)。
$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$两点式的斜率，\( x_1\neq x_2 \)。
例题
过 \( (1,2) \) 且斜率为 \( -1 \) 的直线，写成一般式。
\( y-2=-(x-1) \)，即 \( x+y-3=0 \)。
点到直线、平行与垂直
点到直线的距离是垂线段长度。两直线的斜率乘积为 \( -1 \) 时垂直；斜率相等时平行。
$$d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$直线先写成 \( Ax+By+C=0 \)。
$$l_1\parallel l_2\Rightarrow k_1=k_2,\quad l_1\perp l_2\Rightarrow k_1k_2=-1$$斜率都存在时。
$$\tan\varphi=\left|\dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|$$到角的正切，分母不为 0。
例题
求点 \( (3,1) \) 到直线 \( x+y-1=0 \) 的距离。
$$ d=\dfrac{|3+1-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{3}{\sqrt{2}} $$
圆
圆是到定点距离等于定长的点的集合。一般式配方后得到圆心和半径。
$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$圆心 \( (a,b) \)，半径 \( r \)。
$$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0,\quad \text{圆心}\left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right)$$半径 \( r=\sqrt{\dfrac{D^2+E^2-4F}{4}} \)，根号内必须为正。
$$d<r\ \text{相交},\ d=r\ \text{相切},\ d>r\ \text{相离}$$\( d \) 是圆心到直线的距离。
例题
求 \( x^2+y^2-2x+4y-4=0 \) 的圆心和半径。
配方：\( (x-1)^2+(y+2)^2=9 \)。圆心 \( (1,-2) \)，半径 \( 3 \)。
对称
关于坐标轴或直线的对称，中点在对称轴上，连线垂直于对称轴。
$$(x,y)\xrightarrow{\text{关于 }x\text{ 轴}}(x,-y)$$纵坐标变号。
$$(x,y)\xrightarrow{\text{关于 }y\text{ 轴}}(-x,y)$$横坐标变号。
$$(x,y)\xrightarrow{\text{关于原点}}(-x,-y)$$两次轴对称的合成。
例题
点 \( P \) 关于 \( x \) 轴的对称点是 \( (4,-8) \)，求 \( P \) 关于 \( y \) 轴的对称点。
\( P=(4,8) \)。关于 \( y \) 轴的对称点是 \( (-4,8) \)。
椭圆
椭圆是平面内到两定点距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹。标准方程把长轴放在坐标轴上。
$$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>b>0)$$焦点在 \( x \) 轴，焦点 \( (\pm c,0) \)。
$$c^2=a^2-b^2,\quad e=\dfrac{c}{a}\ (0<e<1)$$离心率越小越接近圆。
$$x=\pm\dfrac{a}{e}=\pm\dfrac{a^2}{c}$$相应准线。
$$S=\pi ab$$椭圆面积。
例题
椭圆 \( \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1 \)，求焦点、离心率和面积。
\( a=5 \)，\( b=4 \)，\( c=\sqrt{25-16}=3 \)。焦点 \( (\pm 3,0) \)。
$$ e=\dfrac{3}{5},\quad S=20\pi $$
双曲线
双曲线是到两定点距离之差的绝对值等于常数（小于两定点距离）的点的轨迹。它有两条渐近线。
$$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\ (a>0,b>0)$$焦点在 \( x \) 轴，焦点 \( (\pm c,0) \)。
$$c^2=a^2+b^2,\quad e=\dfrac{c}{a}>1$$离心率大于 1。
$$y=\pm\dfrac{b}{a}x$$焦点在 \( x \) 轴时的渐近线。焦点在 \( y \) 轴时方程左右互换，渐近线斜率互为倒数的符号形式。
例题
双曲线 \( \dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1 \)，求渐近线和离心率。
\( a=3 \)，\( b=4 \)，\( c=5 \)。渐近线 \( y=\pm\dfrac{4}{3}x \)，\( e=\dfrac{5}{3} \)。
抛物线
抛物线是到定点和定直线距离相等的点的轨迹。标准方程只含一个平方项。
$$y^2=2px\ (p>0)$$焦点 \( \left(\dfrac{p}{2},0\right) \)，准线 \( x=-\dfrac{p}{2} \)。
$$x^2=2py\ (p>0)$$焦点在 \( y \) 轴正半轴。开口向下或向左时，把 \( p \) 换成负值并改写焦点、准线。
$$e=1$$抛物线离心率恒为 1。
例题
抛物线 \( y^2=8x \)，求焦点和准线。
\( 2p=8 \)，\( p=4 \)。焦点 \( (2,0) \)，准线 \( x=-2 \)。
统一定义
椭圆、双曲线、抛物线都可以看成到焦点和对应准线的距离之比为离心率。
$$\dfrac{\text{到焦点的距离}}{\text{到相应准线的距离}}=e$$\( 0<e<1 \) 椭圆，\( e=1 \) 抛物线，\( e>1 \) 双曲线。
$$|PF|=e\cdot d$$用这个关系求焦半径，不必先代入曲线方程。
例题
点 \( P \) 在椭圆上，到左准线距离为 \( 10 \)，\( e=\dfrac{1}{2} \)，求到左焦点的距离。
$$ |PF_1|=e\cdot 10=\dfrac12\cdot 10=5 $$
三角形与勾股定理
三角形内角和是 \( 180^\circ \)。勾股定理只用于直角三角形；其逆定理用来判断一个三角形是不是直角三角形。
$$S=\dfrac{1}{2}ah$$底乘高的一半。
$$a^2+b^2=c^2$$\( c \) 是斜边。
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$内角和。
例题
直角边 \( 6 \) 与 \( 8 \)，求斜边和面积。
斜边 \( \sqrt{36+64}=10 \)，面积 \( \dfrac12\cdot 6\cdot 8=24 \)。
相似与比例线段
相似三角形对应角相等、对应边成比例。面积比等于相似比的平方。
$$\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}=k$$相似比。
$$\dfrac{S_1}{S_2}=k^2$$边比 \( 1:2 \) 时，面积比 \( 1:4 \)。
$$\text{平行线分线段成比例}$$平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例。
例题
相似三角形对应边比 \( 1:2 \)，较小三角形面积为 \( 6 \)，求较大者面积。
$$ \dfrac{S}{6}=2^2=4,\quad S=24 $$
圆、弧与扇形
同弧所对的圆周角是圆心角的一半。弧长和扇形面积都由半径和圆心角决定，角度要先化成弧度或按 \( 360^\circ \) 所占比例计算。
$$l=\dfrac{n\pi r}{180}=r\theta$$\( n \) 为度数，\( \theta \) 为弧度。
$$S_{\text{扇}}=\dfrac{n\pi r^2}{360}=\dfrac{1}{2}r^2\theta$$扇形面积。
$$\text{圆周角}=\dfrac{1}{2}\text{同弧圆心角}$$直径所对的圆周角是直角。
例题
半径 \( 6 \)，圆心角 \( 60^\circ \)，求弧长和扇形面积。
$$ l=\dfrac{60\pi\cdot 6}{180}=2\pi,\quad S=\dfrac{60\pi\cdot 36}{360}=6\pi $$
四边形、内接与外切
菱形对角线互相垂直，面积是对角线乘积的一半。圆的内接正方形以直径为对角线，外切正方形的边长等于直径。
$$S_{\text{菱形}}=\dfrac{d_1d_2}{2}$$对角线互相垂直平分。
$$S_{\text{内接}}=S_{\text{原}}-4\cdot\dfrac12\left(\dfrac{a}{2}\right)^2=\dfrac{a^2}{2}$$正方形边长 \( a \)，四边中点连成的内接正方形。
$$\text{内接正方形对角线}=\text{直径}=\text{外切正方形边长}$$内接面积为 1 时，外切面积为 2。
例题
正方形边长为 4，求四边中点连成的内接正方形面积。另：内接于圆的正方形边长为 4，求圆面积减去该正方形面积。
四个角是直角边为 2 的三角形，每个面积 2，共 8。内接正方形面积 \( 16-8=8 \)。
边长 4 的内接正方形，对角线即直径 \( 4\sqrt{2} \)，半径 \( 2\sqrt{2} \)。
$$ S_{\text{圆}}-S_{\text{正方形}}=8\pi-16 $$
多边形内角
多边形的内角和只与边数有关。外角和恒为 \( 360^\circ \)。
$$\text{内角和}=(n-2)\cdot 180^\circ$$凸 \( n \) 边形。
$$\text{外角和}=360^\circ$$每个顶点取一个外角。
例题
正六边形一个内角是多少度？
内角和 \( (6-2)\times 180^\circ=720^\circ \)，每个内角 \( 120^\circ \)。
棱柱、棱锥与棱台
棱柱上下底平行且全等，体积是底面积乘高。棱锥体积是同底等高棱柱的三分之一。棱台用上下底面积和高。
$$V_{\text{柱}}=Sh,\quad S_{\text{侧}}=Ch$$直棱柱侧面积是底面周长乘高。
$$V_{\text{锥}}=\dfrac{1}{3}Sh$$高是顶点到底面的垂距。
$$V_{\text{台}}=\dfrac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1S_2})$$\( S_1,S_2 \) 是上下底面积。
例题
底面积 \( 12 \)、高 \( 5 \) 的棱锥，体积是多少？
$$ V=\dfrac13\cdot 12\cdot 5=20 $$
圆柱、圆锥、圆台与球
圆柱可以看成矩形旋转，圆锥看成直角三角形旋转，球看成半圆旋转。母线是侧面展开后的斜边。
$$V_{\text{柱}}=\pi r^2h,\quad S_{\text{侧}}=2\pi rh,\quad S_{\text{表}}=2\pi r(h+r)$$圆柱。
$$l=\sqrt{r^2+h^2},\quad V_{\text{锥}}=\dfrac13\pi r^2h,\quad S_{\text{侧}}=\pi rl$$圆锥。母线、底面半径和高构成直角三角形。
$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2},\quad V_{\text{台}}=\dfrac13\pi h(R^2+Rr+r^2),\quad S_{\text{侧}}=\pi(R+r)l$$圆台。\( R,r \) 是上下底半径。
$$V_{\text{球}}=\dfrac{4}{3}\pi R^3,\quad S_{\text{球}}=4\pi R^2$$球只有一个尺寸：半径。
例题
圆锥底面半径 \( 3 \)、高 \( 4 \)，求母线、侧面积和体积。
$$ l=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
$$ S_{\text{侧}}=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi,\quad V=\dfrac13\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi $$
正方体与长方体
正方体由棱长一个量决定。长方体的面对角线和体对角线分别在一个面内和空间里用勾股定理。
$$S_{\text{正方体}}=6a^2,\quad \text{体对角线}=a\sqrt{3}$$面对角线是 \( a\sqrt{2} \)。
$$4(a+b+c)=\text{棱长和},\quad 2(ab+bc+ca)=\text{表面积}$$长方体每种棱有 4 条，每对面有 2 个。
$$\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)}$$体对角线。
例题
长方体棱长和为 48，表面积为 94，求体对角线。
\( 4(a+b+c)=48 \)，所以 \( a+b+c=12 \)。\( 2(ab+bc+ca)=94 \)，所以 \( ab+bc+ca=47 \)。
$$ \sqrt{12^2-2\cdot 47}=\sqrt{144-94}=\sqrt{50}=5\sqrt{2} $$
空间位置
线面垂直时，直线垂直于平面内的两条相交直线。三垂线定理把平面内的射影和斜线的垂直关系联系起来。
$$\text{线面角 }\sin\theta=\dfrac{h}{l}$$\( h \) 是斜线一端到平面的距离，\( l \) 是斜线段长。
$$V=\dfrac{1}{3}S_{\text{底}}h$$棱锥、圆锥通用。高必须垂直于底面。
例题
斜线段长 \( 10 \)，它在平面内的射影长 \( 8 \)，求这条斜线与平面所成角的正弦。
垂直距离 \( h=\sqrt{10^2-8^2}=6 \)。
$$ \sin\theta=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5} $$
加法、乘法与排列组合
分类用加法，分步用乘法。排列计顺序，组合不计顺序。
$$A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!},\quad C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$$\( C_n^k=C_n^{n-k} \)。
$$C_n^k=C_{n-1}^{k}+C_{n-1}^{k-1}$$杨辉三角的递推。
例题
从 7 个不同元素中任取 2 个，有多少种取法？若还要排列呢？
$$ C_7^2=\dfrac{7\times 6}{2}=21,\quad A_7^2=7\times 6=42 $$
二项式定理
二项式定理把 \( (a+b)^n \) 展开。某一项由通项公式直接写出，不必逐项乘。
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^{n-k}b^k$$第 \( k+1 \) 项是 \( T_{k+1}=C_n^k a^{n-k}b^k \)。
$$\sum_{k=0}^{n}C_n^k=2^n,\quad \sum_{k=0}^{n}(-1)^kC_n^k=0$$令 \( a=b=1 \) 或 \( a=1,b=-1 \)。
例题
求 \( (x+2)^5 \) 的展开式中 \( x^3 \) 的系数。
\( T=C_5^k x^{5-k}2^k \)，令 \( 5-k=3 \)，\( k=2 \)。
$$ C_5^2\cdot 2^2=10\cdot 4=40 $$
古典概型与条件
古典概型要求每个基本结果等可能。条件概率是在已知一件事发生之后，另一件事的概率。
$$P(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$$分子分母用同一种计数。
$$P(\text{一奇一偶})=\dfrac{n_{\text{奇}}n_{\text{偶}}}{C_n^2}$$两数之和为奇数，必须一奇一偶。
$$P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$\( P(A)>0 \)。独立时 \( P(B|A)=P(B) \)。
例题
从 1 到 5 中任取 2 个数，两数之和为奇数的概率。
奇数 3 个、偶数 2 个。全部 \( C_5^2=10 \)，有利 \( 3\times 2=6 \)。
$$ P=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5} $$
独立事件、容斥与分组
相互独立的事件，同时发生的概率等于概率相乘。容斥用来求“至少”或“都”的范围。
$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$仅在独立时成立。
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$一般加法。
$$P(A\cap B)\ge P(A)+P(B)-1$$都发生的下限。
$$C_3^1C_4^2+C_3^2C_4^1$$两类都至少选 1 个时分类计数。
例题
科目 A 及格率 \( 90\% \)，科目 B 及格率 \( 80\% \)，两科都及格的比例至少是多少？
$$ 90\%+80\%-100\%=70\% $$
这是下限，不是两科及格率的平均。
排列中的间隔
带限制的排列先排没有限制或限制较多的一类，再把另一类插进间隔。
$$\text{先排不受限元素，再选间隔}$$女生不相邻、中间隔固定人数，都先确定位置再排列。
$$\text{间隔恰好 1 人：位置对}\times 2!\times 4!$$4 男 2 女排成一排，两名女生中间隔 1 人。
例题
4 名男生、2 名女生排成一排，两名女生中间恰好隔 1 人，有多少种排法？
六个位置中，女生占的位置对有 \( (1,3),(2,4),(3,5),(4,6) \) 共 4 种。女生排列 \( 2! \)，男生 \( 4! \)。
$$ 4\times 2\times 24=192 $$
集中量与离散程度
平均数、中位数、众数描述数据集中在哪里。方差和标准差描述数据离开平均数的程度。
$$\bar x=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$平均数会被极端值拉动。
$$s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2,\quad s=\sqrt{s^2}$$有的教材分母用 \( n-1 \)，题目给出定义时按题目。
$$\text{中位数：排序后居中的数或中间两数的平均}$$不受极端值影响。众数是出现次数最多的数。
例题
数据 \( 1,3,3,7 \)，求平均数和按分母 \( n \) 计算的方差。
\( \bar x=\dfrac{14}{4}=3.5 \)。
$$ s^2=\dfrac{(1-3.5)^2+2(3-3.5)^2+(7-3.5)^2}{4}=\dfrac{6.25+0.5+12.25}{4}=4.75 $$
频率与回归
频率是频数除以总数。一元线性回归用一条直线概括两个变量的平均变化关系，相关不等于因果。
$$\text{频率}=\dfrac{\text{频数}}{\text{样本容量}}$$各组频率之和为 1。
$$\hat y=\hat b x+\hat a$$回归直线。\( \hat b \) 是自变量增加 1 个单位时，因变量平均变化的估计。
$$r=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum(x_i-\bar x)^2\sum(y_i-\bar y)^2}}$$相关系数，\( -1\le r\le 1 \)。
例题
样本 40 个，某组频数 10，该组频率是多少？
$$ \dfrac{10}{40}=0.25 $$
同比、占比与强度
比较增长用增速，比较结构用占比，比较投入轻重用强度。分子分母必须使用题目给定的口径。
$$\text{同比增速}=\dfrac{\text{本年}-\text{上年}}{\text{上年}}$$除首年外逐年计算。
$$\text{占比}=\dfrac{\text{该部分}}{\text{合计}}$$结构变化看占比，不单看绝对额。
$$\text{研发强度}=\dfrac{\text{研发费用}}{\text{营业收入}}$$强度上升只说明投入加重。
$$\text{签约率}=\dfrac{\text{签约数}}{\text{可转化成果数}}$$不要擅自换成专利总数。
例题
营业收入 \( 4000 \) 万元，研发费用 \( 800 \) 万元，研发强度是多少？
$$ \dfrac{800}{4000}=20\% $$
集合运算
集合由元素唯一确定，不计顺序。交是同时属于，并是至少属于一个，补是在全集里但不在该集合里。
$$A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{且}\ x\in B\}$$交集。
$$A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{或}\ x\in B\}$$并集。
$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$有限集合的容斥。
$$\complement_U A=\{x\mid x\in U,\ x\notin A\}$$补集相对全集。
例题
参加足球 45 人，其中未打篮球 30 人；参加篮球 25 人。只打篮球的有多少人？
交集 \( 45-30=15 \)。只打篮球 \( 25-15=10 \)。
复数
复数把实数扩大到 \( a+bi \)，\( i^2=-1 \)。相等必须实部、虚部分别相等。模是复平面上到原点的距离。
$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$$加减分实部、虚部。
$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$乘法按分配律，并把 \( i^2 \) 换成 \( -1 \)。
$$\overline{a+bi}=a-bi,\quad |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$共轭与模。\( z\bar z=|z|^2 \)。
例题
计算 \( (1+2i)(3-i) \)，并求 \( 3-4i \) 的模。
$$ (1+2i)(3-i)=3-i+6i-2i^2=5+5i $$
$$ |3-4i|=\sqrt{9+16}=5 $$
导数的意义与基本公式
导数是函数在一点的瞬时变化率，也是切线斜率。基本初等函数的导数可以查公式，和差积商按法则组合。
$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$极限存在时才可导。
$$(x^n)'=nx^{n-1},\ ( \sin x)'=\cos x,\ (\cos x)'=-\sin x,\ (e^x)'=e^x,\ (\ln x)'=\dfrac{1}{x}$$常用导数。
$$(uv)'=u'v+uv',\quad \left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$$积与商。
例题
求 \( f(x)=x^3-3x \) 的导数，以及在 \( x=1 \) 处的切线斜率。
$$ f'(x)=3x^2-3,\quad f'(1)=0 $$
切线斜率为 0，切线水平。
单调、极值与切线
在区间上 \( f'(x)\gt 0 \) 则函数递增，\( f'(x)\lt 0 \) 则递减。导数由正变负的点是极大值点。切线用点斜式。
$$f'(x)>0\Rightarrow f\ \text{递增}$$等于 0 的个别点不改变单调性结论时，仍可说递增。
$$\text{极值点：}f'(x)\text{ 变号}$$不可导点也可能是极值，要单独检查。
$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$过曲线上一点的切线。
例题
求曲线 \( y=x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的切线方程。
\( y'=2x \)，点 \( (1,1) \)，斜率 \( 2 \)。
$$ y-1=2(x-1),\quad y=2x-1 $$